例2 判定函数 的奇偶性和单调性
分析：不难判定函数的定义域是R；又因为
 可得f(x)是奇函数，因此，把握在（0,+∞）上函数的单调性，就能把握函数在定义域R上的单调性，将f(x)的解析式变形为
我们已经熟知函数u(x)在区间（0，1）上单调递减，在区间[1,+∞)上单调递增，且u(x)>0,那么，由 就可以推断函数f(x)在区间（0，1）上单调递增，在区间[1,+∞)上单调递减，再由f(x)是奇函数就可判定f(x)在
(-∞,-1]和[1,+∞)两个区间上都是减函数；在区间
（-1，1）上是增函数。这样，利用函数的单调性的定义推证f(x)的单调性的目标就明确了。
解：∵函数的定义域为R,
又
故y = f(x) 是奇函数，任取x1,x2∈R, 且x1≠x2.
其中x12+1和x22+1恒为正数。
当x1<x2≤-1时，x1-x2<0,
x1x2>1, x1x2-1>0,
f(x2)-f(x1)<0, 即f(x1)>f(x2)
当-1<x1<x2<1时，x1-x2
<0 且|x1|<1, |x2|<1
由此可得|x1 x2|<1, x1x2-1<0
f(x2)-f(x1)>
即f(x1)<f(x2)
当1≤x1<x2时, x1- x2<0,
x1x2-1>0, f(x2)-f(x1)<0.
即f(x1)>f(x2)
综上所述, 函数在(-∞,-1]和[1,+∞)上都是减函数,在(-1,1)上是增函数.
说明:我们还可以利用函数的奇偶性和单调性对f(x)的性质作进一步研究.首先作出函数的草图,我们发现:
当x<0时,f(x)<0; 当x=0时,f(x)=0; 当x>0时,f(x)>0.
这说明图象位于第一、三象限,且通过原点,
当x→-∞或x→+∞即┃x┃→+∞时，f(x)→0,说明图象向左、向右都无限接近x轴，再加上对f(x)的奇偶性和单调性的推断，就可描绘出函数f(x)的图象，在图象上我们还能推断：
当x=-1时，f(x)取得最小值为 ,
当x=1时，f(x)取得最大值为 ，
通过上述对f(x)从数量关系和几何特征的两个侧面的分析，使我们对函数能有全面的了解。
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例3
已知函数y=f(x)=lg(ax2+2x+1)
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围及f(x)的值域。
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围及f(x)的定义域。
分析：f(x)是一个复合函数，令u=ax2+2x+1,则y=lgu,于是可
以借助中间量u探求解题的思路。
解：令u=ax2+2x+1,则y=lgu.
(1)函数f(x)的定义域为R，即对一切x∈R, u>0恒成立。
当a = 0时，u = 2x+1,对一切x∈R, u 恒为正数不成立。
当a≠0时，u = ax2+2x+1是x的二次函数，对一切x∈R,
u>0恒成立的充要条件是 解得：a>0
由此可知：若f(x)的定义域是R，则实数a的取值范围是
（1，+∞），值域为
(2)函数f(x)的值域为R，即y值集合是R则u的集合是R+。
当a=0时，u=2x+1,当且仅当x值的集合是（- ，+∞）时，
u值的集合是R+。
当a≠0时，则 u = ax2+2x+1
当a<0时，显然是不可能的。
当a>0时，由题意得 解得
0<a≤1
这时由ax2+2x+1>0
解得 x∈
综上讨论，得：当a=0时，定义域为（-，+∞）。
当0<a≤1时，定义域
为
说明：本例函数中含有字母参数，在第（2）小题已知值域确
定字母a的范围时，要注意对字母a的讨论。 |
