例4 设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足：
(i)
(ii) 存在正常数a, 使f(a)=1
求证:(1)f(x)是奇函数
(2)f(x)是周期函数，并且有一个周期为4a.
分析:(1)要证f(x)是奇函数只需证明f(-x)=-f(x)即可，
(2)为证明f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a)
采用逼近的手段逐步达到证明的目标。
证明：
∴ f(x)是奇函数。
（2）∵f(x+a) = f[x-(-a)]
故f(x)是以4a为周期的函数。
说明：周期函数虽源于课本中的三角函数部分。但其他函数也有部分函数具有周期性，多年高考中也曾出现类似题
型，因此，在高考复习中必须给予足够的重视，现将有关判定周期函数的几个有用结论列出，证明过程从略，读者可自证。
1.若f(x+T)=-f(x)成立,则2T是f(x)的周期,
即f(x+2T)=f(x)
2.若 成立，则2T是f(x)的周期，
即f(x+2T)=f(x)
3.1 若f(x+T)=f(x-T),则2T是f(x)的周期。
3.2 若f(x+T)=-f(x-T),则4T是f(x)的周期。
4.1 若f(T+x)=f(T-x),
(1)如果f(x)是偶函数,则2T是f(x)的周期,
即 f(x+2T)=f(x).
(2)如果f(x)是奇函数，则4T是f(x)的周期，
即 f(x+4T)=f(x)
4.2 若f(T+x)=-f(T-x),
(1)如果f(x)是偶函数.则4T是f(x)的周期.
即 f(x+4T)=f(x).
(2)如果f(x)是奇函数，则2T是f(x)的周期，
即 f(x+2T)=f(x)
5.1 若f(a+x)=f(a-x) 且f(b+x)=f(b-x)或
f(a+x)=-f(a-x)且f(b+x)=-f(b-x)，
即f(x+a)
与f(x+b)同奇偶性时，f(x)以2（b-a）为周期。
即f[x+2(b-a)]=f(x)
5.2 若f(a+x)=f(a-x) 且f(b+x)=-f(b-x)或
f(a+x)=-f(a-x) 且f(b+x)=f(b-x),即f(x+a)
与f(x+b)异奇偶性时，f(x)以4（b-a）为周期。
即f[x+4(b-a)]=f(x)。
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例5
设a是正数，ax+y=2(x≥0,y≥0),记 的最大
值是M(a),试求：
（1）M(a)的表达式；
（2）M(a)的最小值。
分析：由ax+y=2解出y代入代数式消去y,
建立关
于x的二次函数，逐步对参数a进行分类讨论求出M(a).
解：（1）将y=2-ax代入
得
∵ y≥0, ∴2-ax≥0
而a>0 ∴ 0≤x≤ 
下面分三种情况求M(a)
(i)当0<3-a<
(a>0)
即
时，解得 0<a<1 或2<a<3。
这时，
(ii) 当3-a≥
(a>0)
即
这时，
(iii)当3-a≤0，即a≥3时，
M（a） = S(o)= 2-a·0+3·0- ·02
= 2
综上所述，得：
(2)下面分情况探讨M（a）的最小值。
当 0<a<1 或 2<a<3 时，
当 1≤a≤2 时，
∵1≤a≤2 ∴
≤ ≤1
∴ 当
=
时，M（a）取最小值，即M（a）≥M(2) =
当a≥3时，M(a) = 2.
经过比较上述各类M(a)的最小者，可得M(a)的最小值是2。
说明：解题经验的累积，有助于解题思路的挖掘，对参数a的
分类，完全依据二次函数顶点的横坐标3-a是否在定义
域区间[0，]内，从而引出三种状态，对参数a进行分
类，找出了解题的方案。 |
