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例6 （1）已知x,y∈R，且x2+y2
= 1
求（1+xy）(1-xy)的最大值和最小值。
（2）已知（x-4）2+(y-3)2 = 4,求x2+y2
的最值。
分析：以上两小题均为在一定的限制条件下，求双变量式的最值问题。通常的处理方法有两大类：一是利用条件，消去一个变量，把双变量转化为单变量，二是用三角代换、平均值不等式或利用其几何意义等来解决。
（1）解法一：
∵x2+y2 = 1 ∴ y2 = 1-x2(-1≤x≤1)
∴ N = (1+xy)(1-xy) = 1-x2y2 = 1-x2(1-x2)
= x4-x2+1
又由-1≤x≤1 所以0≤x2≤1
∴ 
≤N≤1 ∴所求的最大值是1，最小值。
解法二：
∵ x2+y2 = 1
∴ 令
∵0≤sin22θ≤1 ∴
≤N≤1
解法三：
∵x2+y2 = 1
∴N =(1+xy)(1-xy)=1-x2y2=1-(｜x｜·｜y｜)2
∴
≤1-(｜x｜·｜y｜)2≤1 即
≤N≤1
（2）解：可从几何意义来考虑，将问题看作在已知圆
（x-4）2+(y-3)2 = 4上找出到原点距离最远和最近的
点，并求这个距离的最大值和最小值。已知圆的圆心
坐标为C（4，3），半径为2，原点O（0，0），连结
OC交圆于A。延长OC 交圆于B，则点A、B 分别为圆
C上到原点O的距离的最近点和最远点，
 ,
｜OA｜ =｜OC｜-2 = 3，｜OB｜ =｜OC｜+2 = 7
∴ ，x2+y2的最小值为9。
 ，x2+y2的最大值为49。
例7．已知关于x的实系数二次方程x2 + ax + b = 0有两个实数根α，β
证明（1）如果|α|＜2，|β|＜2，那么2| a |＜4 +b
且| b |＜4；
（2）如果2| a |＜4 + b 且| b |＜4，
那么|α|＜2，|β|＜2。
分析：本例是关于二次方程实根在某一范围的参数讨论问题，可利用二次方程根的分布知识来解决。
解：设 f(x)=x2+ax+b，则二次方程 x2+ax+b=0
的两根在（-2，2）内的充要条件为
（1）若|α|＜2，|β|＜2，则方程的两根属于（-2，2）
由（S）有
由③、④有 2| a |＜4 +b
从而 -4 ＜ b ⑤
又由①、②有，
⑥
将⑤、⑥ 合并| b | ＜ 4
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（2）若2 | a | ＜4 + b，| b
| ＜ 4，则有
f(2) = 4 + 2a + b＞2 |a| + 2a ≥ 0
f(-2) = 4 - 2a + b＞2|a|-2a ≥ 0
又2|a|＜4 + b≤4 +|b|＜8 即 -2<- <2
再由方程有实根知 △= a2 - 4b ≥ 0
至此，已全部满足（S），故方程的两根在（-2，2）上，
即|α|＜2，|β|＜2。
说明：一元二次方程在区间（R的子集）有解的条件：
设f（x）=ax2 + bx + c = 0 ( a＞0)有两个实根
x1,x2, k, k1, k2均为常数，△=
b2 - 4ac
（1）x1＜x2＜k成立的充要条件 
(2) k＜x1＜x2成立的充要条件
(3) x1＜k＜x2成立的充要条件f(k)<0
(4) k1＜x1≤x2＜k2成立的充要条件
(5) x1，x2有且仅有一个在（k1，k2）内的充要条件
f(k1)·f(k2) ＜0 
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