例8 定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：
（i）对任意x, y ∈(-1,1)，都有
（ii）当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0
求证：
分析：光探索f(x)的奇偶性、单调性，再设法应用已知条件证明所给的不等式。
证明：对于中的x,
y。
令 x=y=0, 得 f(0)=0
再令y = -x, 又得f(x)+f(-x)=f(0)=0
即f(-x)=-f(x).
∴f(x)在x∈(-1，1)上是奇函数。
另设-1＜x1＜x2＜0，则
∵-1＜x1＜x2＜0
∴x1-x2＜0, 1-x1x2＞0
于是由（ii）知 ，从而
f（x1）-f(x2) ＞0 即f(x1)＞f(x2)
故f（x）在x∈(-1, 0)上是单调递减函数。
根据奇函数的图象关于原点对称，知f(x)在x∈(0, 1)
上仍是单调递减函数，且f(x)＜0下面采用光裂项求
和，再实施证明不等式的解题策略。
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例9．已知a＞0，a≠1，试求使方程
有解的k的取值范围。
解：原方程等价于
上面方面的解等价于
 
由于a＞0，方程②可化为2kx = a (1 + k2) ③
当k=0时，方程③无解。
当k≠0时，方程③的解是
解得：k < - 1 或 0 < k < 1
∴当k∈(-∞,-1)U(0,1)时，原方程有解。
说明：这是一道关于函数，方程，不等式的综合题，利用函
数的图象，可深化对题目的认识开阔思路，并对原解
答进行有效的检验。
将原方程化为
方程有解的几何意义是曲线
(y>0)与
射线y = x-ak (y>0)有交点，
由于
(y > 0 )
它的图象是双曲线x2-y2 = a2的两上半支；
而y = x-ak (y>0)是斜率为1，纵坐标上的截距为-ak的
射线，如图，当且仅当-ak > a 或 -a < -ak < 0
∵a > 0 即 k < -1 或 0 < k < 1时，曲线和直线有交点。
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