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幂函数、指数函数和对数函数
2001新资料  
(第6页,共8页)


例10
某地为促进淡水鱼养殖发展,将价格控制在适当范围
   内,决定对淡水鱼养殖提供政府补贴,设淡水鱼的市
   场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克。根据市场
   调查,当8≤x≤14时,淡水鱼的市场日供应量P千克
   与市场日需求量Q千克近似地满足关系:


 P = 1000 (x + t - 8) (x ≥ 8, t ≥ 0)
   (8 ≤ x ≤ 14 )
 当P = Q时的市场价格称为市场平衡价格。

(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数
   的定义域。

(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少
   为每千克多少元?


分析:这是1995年的高考题,是一道应用函数知识解决的
   实际问题、考查范围涉及到函数概念,方程及不等
   式的解法、以及运用数学知识解决实际问题的能力。

 要解决这道题,正确地理解题意至关重要。
 首先要明白,市场平衡价格仍是一种市场价格,这种价格
 满足P=Q,
 其中
P = 1000 × (x + t - 8) (x≥8,t≥0)
    (8 ≤ x ≤ 14 )
 其次,P=Q表示一种相等关系,其中P是含x,t的代数
 式,Q是只含x的代数式,通过P=Q就可以得到一个含x,
 t的方程。

 第三,本题要求把x表示为t的函数,这就要解关于x,t的
 方程时把t当作已知数,这样就可以得到用t的代数式表示
 x的函数解析式,进一步讨论使解析式有意义的t的取值范
 围,就得到函数的定义域。

 最后,根据题目中对x的取值的限定,就得到关于t的不等
 式,解这个不等式,就得到本题的最后的解。



 
解:(1)由已知P=Q得

   1000 (x + t - 8 ) =
   
   4(x2 + t2 + 64 + 2tx - 16t - 16x)
    =40-(x2-16x+64)5x2+(8t-80)x+(4t2-64t+280)
    =0

  当△= (8t - 80)2 - 20(4t2 - 64t + 280) 
    = 800 - 16t2 ≥ 0 时.

  

  由△≥0,t≥0, 8 ≤ x ≤ 14, 得关于式的不等式组:
   


 解不等式组①,得0 ≤ t ≤  不等式组②无解。

 故所求函数关系式为 x=

 这个函数的定义域为t∈[0,]
 
 (2)为了使x ≤ 10,应有
     ≤ 10

    化简得 t2 + 4t - 5 ≥ 0
 解得  t ≤ -5 或 t ≥ 1 由t ≥ 0,故t ≤ -5,舍去。
 故要使x ≤ 10,需t ≥ 1,即政府补贴至少为每千克1元。


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