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例10 某地为促进淡水鱼养殖发展,将价格控制在适当范围
内,决定对淡水鱼养殖提供政府补贴,设淡水鱼的市
场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克。根据市场
调查,当8≤x≤14时,淡水鱼的市场日供应量P千克
与市场日需求量Q千克近似地满足关系:
P = 1000 (x + t - 8) (x ≥ 8, t ≥ 0)
(8
≤ x ≤ 14 )
当P = Q时的市场价格称为市场平衡价格。
(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数
的定义域。
(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少
为每千克多少元?
分析:这是1995年的高考题,是一道应用函数知识解决的
实际问题、考查范围涉及到函数概念,方程及不等
式的解法、以及运用数学知识解决实际问题的能力。
要解决这道题,正确地理解题意至关重要。
首先要明白,市场平衡价格仍是一种市场价格,这种价格
满足P=Q,
其中 P = 1000 × (x + t - 8) (x≥8,t≥0)
(8 ≤ x ≤ 14 )
其次,P=Q表示一种相等关系,其中P是含x,t的代数
式,Q是只含x的代数式,通过P=Q就可以得到一个含x,
t的方程。
第三,本题要求把x表示为t的函数,这就要解关于x,t的
方程时把t当作已知数,这样就可以得到用t的代数式表示
x的函数解析式,进一步讨论使解析式有意义的t的取值范
围,就得到函数的定义域。
最后,根据题目中对x的取值的限定,就得到关于t的不等
式,解这个不等式,就得到本题的最后的解。
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解:(1)由已知P=Q得
1000 (x + t - 8 ) =
4(x2 + t2 + 64 + 2tx - 16t
- 16x)
=40-(x2-16x+64)5x2+(8t-80)x+(4t2-64t+280)
=0
当△= (8t - 80)2 - 20(4t2 - 64t + 280)
= 800 - 16t2 ≥ 0 时.
由△≥0,t≥0, 8 ≤ x ≤ 14, 得关于式的不等式组:
解不等式组①,得0 ≤ t ≤
不等式组②无解。
故所求函数关系式为 x=
这个函数的定义域为t∈[0, ]
(2)为了使x ≤ 10,应有
≤
10
化简得 t2 + 4t - 5 ≥ 0
解得 t ≤ -5 或 t ≥ 1 由t ≥ 0,故t ≤ -5,舍去。
故要使x ≤ 10,需t ≥ 1,即政府补贴至少为每千克1元。
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