例2 下列命题正确的是__________（填上序号）

① 若 ，则siny-cos²x的最大值是 ；

② 函数 的单调增区间是

③ 函数 是奇函数；

④ 函数 的最小正周期是π；

⑤ 设θ是第二象限角，则

　

　由二次函数图象可知当时，

　　　
　　 对于命题②，由于函数 是由
y=sinu

 和 复合而成，因u(χ)为减函数，故要使y随χ的

区间为
　

　　

无相等或差符号的关系；如果作变形，会有∫(x)= ，易

　

　　由 1+sinχ+cosχ≠0 有 χ≠2kπ- 且
χ≠2kπ+π.

　∴③错。
　　对于命题④，高考只要求会求经变形后得到形如
y=sin(ωχ+ψ) 或 y = tg(ωχ+ψ)等简单函数的三角周期。另外，别忽视了定义域。
　　变形后有y = -ctgχ，定义域为χ≠kπ(k∈Z)，故其最小正周期为π。

　∴④正确。
　　对于命题⑤，是关于考查三角函数数值分布规律的问题，即角的范围与三角函数值的大小间的关系，这类问题用代表区间法、图象法处理起来形象、直观、简单易行。

　∵θ为第二象限角
　∴2kπ+<θ<2kπ+π 即 kπ+<θ<kπ+ (k∈Z)
　当 k = 2m (m∈Z)时，2mπ+<<2mπ+ 在代表区间
　(, )上，由正、余弦函数图象可知 ^>
　由正、余切函数图象可知 ^> 。 　
　当k=2m+1(m∈Z)时，，在代表
　区间上，由图象易知^<,^>

　∴⑤错。
　由以上讨论可知五个命题中点有④正确。 　

例3（1）化简
　（2）求ctg10⁰-4cos10⁰的值
　（3）已知 且α,
　　　 β∈(-π,0),求2α-β的值
　（4）已知tgα，tgβ是关于χ的方程χ² -4pχ-3=0的
　　　 两个实根(p∈R)，且α+β≠kπ+,k∈Z

　求cos²(α+β)+psin(α+β)·cos(α+β)的值。

　分析：三角函数的运算（化简、求值、证明）是三角部分
　　　　的又一重要题型，高考出题频率高，且多以解答形
　　　　式出现，大多数为容易题和中档题。

　处理三角运算问题应注意以下几个方面。

　I、三角式化简的目标：项数尽可能少；种类（名称）尽
　　 可能少；角尽可能少；次数尽可能低；分母尽可能不
　　 含三角式；尽可能不带根号；能求出值的求出值来。

　II、三角运算化的基本原则：
　　

III、几个重要的三角常识：
　　　1．sinα·cosα → 凑倍角公式；
　　　2．1±cosα → 升次公式；
　　　3．1±sinα → 配方式化为1±cos(-2)再升次；
　　　4．asinα+bcosα → 辅助角公式。

IV、三角运算常用的数学思想：
　　　1．方程思想 　　2．数形结合思想
　　　3．整体思想 　　4．复数思想

下面我们讨论本例中几个题目的具体解法。
（1）坚持三角运算的基本原则，把握方向，注意目标。
　

（2）第一种三角求值的类型：已知角→求值（无条件求值），
　　 坚持原则。注意常识。
　　

（3）第二种三角求值类型：已知值→求角（条件求值），其解决
　　 模式可分三步：
　　（i）求出该角的某种三角函数值；
　　（ii）确定该角的范围（多为单调区间）；
　　（iii）确定该角的大小。
对于此题，有① 由题设知
　　　　　　 tgα=tg[(α-β)+β] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　
　　　　　

　　　
　

③ 由①、②可知

（4）第三种三角求值类型：已知值→求值（条件求值），解决这
　　 类问题仍坚持三角原则，注意三角常识，注意公式的灵活运
　　 用及凑角变换；还要紧抓已知条件，灵活使用已知条件，
　　 深刻挖掘已知条件。

　　∵tgα, tgβ为方程χ²-4pχ-3 = 0的二根。

　　∴由韦达定理，有 tgα+ tgβ=4p，tgα·tgβ=-3

　　∴sin(α+β) = p·cos(α+β)