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数苑漫步

例4 求证：
分析：三角恒等式的证明其方法和要领，与三角函数式化简
　　　基本上是一样的，证明此化简应该更有方向性，更容
　　　易把握，细心分析等式两边形式上的差异，就可实施
　　　异到同的转化完成证明。

　　在证明时要注意以下两点：一是尽量由繁到简；二是不
要盲目乱碰，先通过观察、分析等式两边的差异，力求做到
有方向，有目的的变换。

　　本例左繁右简，选择"左 → 右"

证法一：（从角入手，把 ）
　　　　 　原式得证。

证法二：（从函数名称入手，化切为弦）
　　　 　原式得证。

证法三：（从函数名称入手，左右两边统一弦化切，可用万
　　　　 能公式）


　∵左边=右边 ∴原式得证。

例5（1）在△ABC中，已知
　　　　
　　① 求证sinA +sinC=2sinB：
　　② 求的取值范围

　（2）在△ABC，三边a, b, c成等差数列。
求5cosA - 4cosA·cosC + 5cosC的值。

分析：三角部分的另一种重要题型：三角函数的基本应用，
　　　其中最重要的一个方面就是处理有关三角形问题。
　　　近年来高考出题率也颇高，解答这类问题常用的理
　　　论工具有：三角公式、代数公式、三角形的边、角
　　　的有关定理（其中最重要的有正、余弦定理），常
　　　用的思维途经有：化角法、化边法。

（1）解：①

② 由sin A + sin C = 2 sin B 知
　
　 而 A + C = π - B
　
　

（2）解：化边法
　∵ a, b, c成等差数列，不妨设a=b-m，c=b+m，由余弦定
　　 理知

　
本例还可通过化角法，即利用正弦定理来解决，请读者试自解。

例6 如图，已知扇形OAB的中心角为45⁰，半径为R，矩形PQMN
　　内接于这个扇形，求矩形的对角线长λ的最小值，及其矩形
　　面积S的最大值。

分析：可以考虑设角为自变量，列出函数式，再用三角函数的性
　　　质来求最值。

　解：连结OM，在Rt△OMQ中，令∠QOM=α，
　则OM = Rsinα，OQ = Rcosα，
　OP = PN = QM = Rsinα
　于是 λ² = PQ² + QM²
　　　　　 = R²(cosα- sinα)² + R²sin²α
　　　　　
　其中令 ，则
　
　
　∴当 α= 22.5⁰ 时，

说明：在列函数式时，应抓住图形特征，充分利用直角三角形及
　　　有关三角形的边角关系。