（三） 重点讲解

　例1 设 n 为不超过1999的正整数，若有一个角θ，满足(sinθ+ icosθ)ⁿ = sinθ+ icosθ，则这种 n 的总个数为（ ）
　 A、1999 　　B、500 　　C、499　　 D、1998
　解：因sinθ+ icosθ不是复数的三角式，故不能直接应用棣英佛定理，为了使用棣英佛定理，应把
sinθ+ icosθ化成三角式。
　由sinθ+ icosθ=cos（-θ）+isin（-θ）
　及(sinθ+ icosθ)ⁿ = sinnθ+ icosnθ
　得[cos（-θ）+isim（-θ）]ⁿ = sinnθ+icosnθ
　即
　　于是，问题转化为，在不超过1999的正整数中，有多少个n值能使（*）式成立。

　　由三角知识有 n=1时，（*）式成立；再考虑到诱导公式，知 n=5，9，13……时，（*）式也成立。

　　由等差数列的知识有

　　1+（n-1）·4≤1999 即n≤499.5 +1
　　故 n 的总个数为500，选B。

　 例2 设复数z = (sint - csct) + (sint + csct)i，当t在实数范围内变化时，复数 z 在复平面内对应点的轨迹为（ ）

解：为得到复数 z 在复平面内对应点的轨迹，可先求出复数 z 的实部与虚部的关系，即寻求轨迹的方程。
　　 设 z = x+yi，(x, y∈R)　则有
　　　　x = sint - csct = sint-

　　　　y = sint + csct = sint+
　　消去sint，得y² - x² = 4
　　如果到此而选 A，则尚为时过早。
　　在解析几何中，把参数方程化为直角坐标方程时，要注意方程的等价性。
　　当sint >0时，　 y = sint + ≥2

而由0 < sint≤1知，x = sint - ≤0

　 当sint<0 时，　 y = sint + ≤-2

而由0＜sint≤1知　　x = sint - ≥0
　　故应该选D。
　　复数与解析几何有着极为密切的联系，作为巩固练习，请完成下面一题：

　　复平面内满足z·z + z + z =3 的复数 z 的对应点所组成的曲线是 C₁，由线 C₂ 与 C₁ 关于直线
x - y = 0 对称，若 u = x + yi (x, y∈R)的对应点在曲线C₂上，则 的最小值等于_______ 。
　　答案为 -5。

例3 已知 z 是虚数，z₂+2z 是实数，且， 　　则 z =________ 。

解：本题常规的解法有两种。

方法一：选择代数形式，把问题化归为待定复数的实，
虚部。
　 令 z = x + yi（x，y∈R，y≠0）
　 则 z²+2z = (x+yi)²+2(x-yi)
　　　　　　=(x²-y²+2x)+2y(1-x)i
　 ∵z²+2z∈R 　　∴2y ( 1 - x ) = 0 又 y≠0
　 ∴x = 1 即 z = 1 + yi
　　 又由 及 3 - z = 2 - yi 知
　 ∴y = - 2 从而z = 1 - 2i

方法二：着眼于整体，运用三角形式，先求出3－z，再求z。　　
　
　　我们看到：方法一是从条件 z 是虚数出发的，方法二是从条件arg ( 3 - z) = 出发的，过程都不那么简单，若从条件 z²+2z 是实数出发，将会怎样？
　　 ∵　z²+2z 是实数
　　 ∴　z²+2z =
　　 即z²+2z = +2z
　　 有(z - z )( z + z ) = 2(z - z)
　　 ∵ z 是虚数 　　∴z ≠ z 即 z - z ≠0
　　 ∴ z + z = 2
　　　　故可设 z = 1 + yi，于是由
　　 arg (3 - z)= arg (2 - yi) = 得 y = -2
　　 于是 z = 1 - 2i