例7 设复数，z = x+yi(x、y∈R)，w = - 又复
数 a = 1+wz，b = 在复平面内对应的点依次为A、B，且OA┴OB。
（1）证明|z-w|为定值，并求出定值。
（2）求 arg(z-1) 的取值范围
解：（1）这是一道定值问题，其实质是计算 |z-w| 为一常数，可以通过向理垂直的充要条件来实现。
OA┴OB＜＝＞a、b的实部为零
∵ a、b = (1 + wz)(z + wz)
= (1 + w·z)(z + wz)
=（z+wz+wz·z+wz·wz)
∵ww =1，zz =x2+y2
∴ 
即  = 1
亦即 
∴ ｜z-w|=1 为定值，定值为1。
（2）考查圆的复数形式方程、辐角主值的几何意义，用数形结合法解决这类问题形象、直观、十分有效。
由（1）知 z 对应的点 z(x、y)在⊙W: 上，而 z-1 对应的向量是以
A（1、0）为始点，从Z（x、y）为终点的 AZ，如图可知 当 AZ 为⊙W 的切线时，arg(z-1) 取得最大或最小值，设 AZ 的斜率为k，则 AZ 的方程为y = (k-1)：
由解析几何知识有
解得：
即 
由于 由图象可知
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例8 已知复数 z1=cosα+isinα，z2=k(cosβ+isinβ)，
z3=(z-k)cosx+isinx且满足 z1+z2+z3=0，问 k 为何值时，
cos(β-α)分别取最大值，最小值（0＜k＜2)
解：本例是复数与三角关系的问题，利用虚实转化思想，由
z1+z2+z3=0，应用复数相等的充要条件，可转化为三角条件最值问题，则有
解法1：由 z1+z2+z3=0 得
由 ①2+②2 得 
若注意到复数的性质，可以考虑用整体思想求解，则有
解法2：由 z1+z2+z3=0 得
|z2+z3|=|z1|
两边平方，得 |z2+z3|2=|z1|2
∴(z2+z3)( z2+z3)=1
即 |z2|2＋|z３|2＋z2z３＋z2z３＝１
注意到 z2z３+z2z３=2|z2|·|z３|cos(β-x)
则 k2+(2-k)2+2k(2-k)cos(β-x)=1
若注意到复数及其运算的几何意义，则可以考虑利用数形结合的思想求解，从而有
解法3：∵ |z2-z3|2=2（|z2|2+|z3|2）-|z2+z3|2（*）
=2（|z2|2+|z3|2）-|z1|2
（*）--运用平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和这一几何性质。
而且注意到复平面内的余弦定理：
上面三种不同的解法是在三种不同的基本思想的启迪下得到的，这正是灵活运用基本数学思想的具体体现，应予足够的重视。
下面完成此题的解答。
令
∵| cos（β－α）| ≤1 ∴ - 1≤y≤
由，ymax=得
由，ymix=-1得 
所以当 k=1 时，cos（β－α）取得最大值，
当 时，cos（β－α）取得最小值-1。
此题实际上是以复数作为载体，求绘条件的余弦函数的最值，进而又转化为求条件分式函数的最值，运用了均值不等式，也可利用判别式法求上述分式函数的最值（留给读者自己完成）。
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