例9 复平面上点P对应的复数为 ，连接点P与曲线
|z-|+|z+|=4上的运点 M 作正方形 PMAN（P、M、A、N 为顺时针序），求当点 M 沿曲线滑动一周时，点 N 的轨迹方程。
分析：解答此题，首先应明确方程|z-|+|z+|=4的几何意义；其次恰当地设出曲线上动点 M 对应的复为数；然后利用复数加法及乘法的几何意义求得 N 点所对应的复数，最后利用复数相等的充要条件可求得 N 点的轨迹方程。
解：易知，方程|z-|+|z+|=4表示复平面上中心为坐标原点，2c = 2、2a=4 的椭圆，P点正是其右焦点
（如图） 
设点 M 对应的复数为
ZM = 2cosθ+isinθ ，则
OM = 2cosθ+isinθ
∵ OP =
∴ PM = OM-OP =(2cosθ-
)+isinθ
又∵MP ┴ NP
∴ PM = PM·(-i) = sinθ+(-2cosθ)i
∴ ON = OP+PN =(+sinθ)+(-2cosθ)i
则 ZN =(+sinθ)+(-2cosθ)i
设 ZN = x+yi(x,y∈R),则由复数相等的定义得：
消去参数θ，得动点 N 的轨迹方程为
由本例解法得出下面的两点启示：
（1）由椭圆方程的特点合理设出动点 M 对应的复数是解题的一个关键步骤，读者应学会这种设点方法。
（2）当所求的轨迹具有旋转特点时，应用复数方法求解，不仅可回避因涉及两点间距离公式所引起的复杂运算，而且思路清晰、流畅。
例10 设复平面内点 A、B 对应的复数分别为α、β，且|α－2|=1，β+（1+i）α=0，O为原点，试求△AOB面积的最大值和最小值，并且求相应的复数α、β。
分析：由三角形面积公式知 S= |OA|·|OB|·sin∠AOB知。只要求得|OA|、|OB|及∠AOB的值就行了，由数复数的几何意义知，|OA|=|α|，|OB|=|β|；由复数乘法的几何意义可求得∠AOB的值。
解：由β+（1+i）α=0得β=-（1+i）α
∴|β|= α，|β|=(cos +isin)α
由乘法的几何意义及三角形内角的范围知
∠AOB=
∴ S△AOB = |α|·|β|·sin = |α|2
又∵ |α-2|=1 ∴ 可设α=2+cosΨ+isinΨ
则
∴ S△AOB=(5+4cosΨ)
当 cosΨ=-1 即 α=1，β= -1-i时， Smin =
当 cosΨ=1 即 α=3，β= -3-3i时， Smax = 
若明确|α-2|=1 是以(2,0)为圆心,1 为半径的圆的复数方程,可画出图形,由图形的直观性可立即得出结果.
① 在由|Z-α|= r(a∈R)求|Z|的最值时，可作出了
Z=α+ r (cosα+ isinα)r 的巧设变换，即可将求复数模的最值转化为求三角函数式的最值，然后利用三角函数有界性求解。
② 若能注意到复平面内一些特殊曲线的方程，画出图形后就可简化求解过程。
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（四）能力训练
一、 选择题：
（1）已知M={1,2,m2-3m-1+(-3m-1+(m2-5m-6) i},N={-1,3}，
M ∩ M ={3}， 0 则实数 m 的值为（ ）
(A)-1或6 (B)-1或4 (C)-1 (D)4
（2）复平面上有点 A，B其对应的复数分别为 -3+i 和 -1-3i,
O为点，那么△AOB是（ ）
(A)直角三角形 平共处 (B)等腰三角形
(C)等腰直角三角形 (D)正三角形
(3)方程２|Z|2＋３|Z|=０有复平面内所表示的图形是（ ）
(A)一个圆 (B)两个圆 (C)两个中点 (D)两条直线
(4)当 t∈R，t≠-1,O 时,复数 
的模的范围
是( )
(A) |Z|>2 (B)|Z|>
(C)|Z|≥
(D)|Z|<
(5) i - i2 +i3-i4+…+(-1)100·i99
的什是( )
(A) 1 (B)-1 (C)i (D) -i
(6)设 n∈N,则 的值是(
)
(A)1 (B)-1 (C)±I (D)n是偶数时为1，n是奇数时为-1。
(7)设复数2-i 和3-i的辐角主值分别为α，β则α+β等于（ ）
（A）135o (B)315o (C)675o
(D)585o
(8)设Z1=-1+ i , Z2=( Z1)2
, 则Z2的辐角主值是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(9)集合 M={Z|Z+1|=1, x∈C }, N={Z|Z+i|=|Z-i| ,Z∈C} , 则M∩N 是( )
(A){0,-2i} (B){0,2} (C){0,2i} (D){0,-2}
(10)若复数 z 满是|z|=1 ,那么|z++i|的最大值是(
)
(A)1 (B)2 (C)3 (D)
(11)已知Z1=1+cosθ+isinθ,Z2=1-cosθ+isinθ(л<θ<2л),则Z1,Z2的辐角主值的和为(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
(12)点 A 对应的复数为-i , 点 B 对应复数为-
, 以 AB 为一边作 E△ABC , 则C点 对应的复数是( )
(A) i 或 --2i
(B) +i 或 -2i.
(C) 2i 或 -i.
(D) i或-
-i.
(13)已知 W= ,使(-Wi)n∈N 的 n 的最小正整数是(
)
(A)3 (B)4 (C)6 (D)12
(14)在复数集 C 中 , 方程|x|=1-x+3i的解是（ ）
(A) (B)
(C)4+3i (D)4-3i
(15)已知关于 x 的方程x2-(2i-1)x+3m-i=0 有实根，则实数Ｍ的范围是（
）
(A)
(B)
(C)
(D) 
二、填空题：
(16)设z是方程x3+1=0的一个虚根，则z16-(z)13+|z|=______
(17)z∈c,若 ,
则z=_______
(18)复平面上点z1,z2分别对应于z1=1+i,z2=-2-3i,把向量
绕z1按顺时针方向旋转90o后得到向量
，那么z3对应的复数z3=_____
(19)若│z-2│=4, ，则z=______
(20)如把 z1=6-3i 所对应的向量绕其始点顺时针旋转2arctg2 后所得的向量所对应的复数记为z2,则│z1+z2│=______
三、解答题：
（21）复数 z 满足arg(z-3z)=,且│z+1│= ,求复数z.
(22)已知 z∈c,且zz+(1-2i)z+(1+2i)z≤3
(I) 求│z│的最值
（II）求z的实部与虚部之和的最值。
(23)已知arg(a+i)6=
,求实数 a 的值。
（24）已知辐角分别为θ1,θ2的复数 z1,z2 满足：z1+z2=5i,
│z1z2│=14,求cos(θ1-θ2)的最大值和最小值，并求出取得最小值时的z1,z2.
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