例４ 设a,b,c,x∈R,abc≠0
且(a²+b²)x²-2(a+c)bx+b²+c²=0, 求证：a,b,c是公比为x的等比数列。

证法一：由于x∈R,故把已知等式看作关于x的一元二次方程，则方程必有实根。
　　∴△=4(a+c)²b²-4(a²+b²)(b²+c²)
　　　　=-4(b²-2acb²+a²c²)
　　　　=-4(b²-ac)²≥0
　　∴b²-ac=0 即b²=ac 又abc≠0,故a,b,c成差比数列。

解关于x的方程得。
　　　
　　∴等比数列a,b,c的公比为x.

证法二：把已知等式拆为：
　　(a²x²-2abx+b²)+(b²x²-2bcx+c²)=0
　∴(ax-b)²+(bx-c)²=0
　∴ax-b=0 且 bx-c=0 　又abc≠0 ∴
　∴a,b,c为等比数列，且其公比为x.


例５ 用砖砌墙，第一层（底层）用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下一半多一块，……,依次类推，每一层都用去了上次剩下砖块的一半多一块，如果到第十层恰好把砖块用完,那么一共用了多少块砖？

解：设从上层到底层砖块分别为a₁,a₂,…,a₁₀,S_n表示数列的前几项和，依题意知： a₁=2, a_n=S_n+1
　　　
　由①-②得 a_n-a_n-1=(S_n-S_n-1)=a_n.
　　∴a_n=2a_n-1,因此，每层砖块组成一个以２为首项,２为公比的等差数列。
　　
　答：一共用了２０４６块砖砌墙。


例６ 设{a_n}是由正数组成的等比数列，S_n是其前n项和。
　（１）证明：

　（２）是否存在常数c >0,使得
　　　　 成立，
　　　　并证明结论。

证明：（１）设数列{a_n}的公比为q，由已知，a₁ >0,q>0 当q=1时， S_n=na₁,
　　∴S_n·S_n+2-= na₁·(n+2)a₁-(n+1)²
　　　　　　　　　 = -< 0
　当q≠0时，
　　
　∴总有S_n·S_n+2< ,又底数10 >1.
　∴lg(S_n·S_n+2)< lg(S_n+1)²
　即

(2)若存在常数c>0,使
　
　
　由④得，S_n·S_n+2-=C(S_n+s_n+2-2S_n+1)⑤
　由（１）已证⑤式左边< 0
　又　S_n+S_n+2-2S_n+1
　　=(S_n-c)+(S_n+2-c)-2(S_n+1-c)
　　
　又c >0 ⑤式右边≥0
　∴⑤式不成立。故不存在常数c >0,使
　　成立。