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数苑漫步

例９ 设A_n是数列{a_n}的前n项和，A_n=a_n-(n∈N)数列{b_n}的通项公式为b_n=4n+3 (n∈N).
　(1) 求数列{a_n}的通项公式
　(2) 将数列{a_n}与{b_n}的公共项，按它们的原数列中的
　　　先后顺序排成一个新数列{c_n}，求数列{c_n}的通项
　　　公式。
　(3) 设数列{c_n}中的第n项是数列{b_n}中的第r项，B_r为
　　　数列{b_n}的前r项的和，D_n为数列{c_n}的前n项和，
　　　T_n=B_r-D_n,求的值。
解：(1)当n=1时，a₁=a₁- 解得 a₁=3
　　　 当n≥2时，a_n=A_n-A_n-1=(a_n-a_n-1)
　由此得 a_n=3a_n-1 ∴数列{a_n}是等比数列，即a_n=3ⁿ.

　(2)由计算可知：a₁,a₂不是{b_n}中的项，a₃=27=4×6+3
　　 ∴C₁=27=a₃=b₆ 设C_n=a_m=b_p 即 3^m=4p+3
　　 ∵a_m+1=3^m+1=3·3^m=3(4p+3)
　　　　　 =4(3p+2)+1
　　 ∴a_m+1不在{b_n}之中.
　 而a_m+2=3^m+2=9·3^m=9(4p+3)
　　　　 =4(9p+6)+3
　　 ∴a_m+2是{b_n}中的项
　　
　　 ∴｛C_n｝是等比数列，C₁=27,q=9
　　 ∴C_n=27·9^n-1=3²ⁿ⁺¹(n∈N)

(3)由题意得3²ⁿ⁺¹=4r+3.
　 解出r=(3²ⁿ-1),易求出
　　

例10 某企业在"减员增效"中，对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100%，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的领取工资。该企业根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，没有利润，第二年每人可获b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年基础上递增5%。如果某人分流前工资收入每年a元，分流后第n年总收入为a_n元，
　　(1) 求a_n
　　(2) 当b=a时，这个人哪一年收入最小，最小收入
　　　　是多少？
　　(3) 当b=a时，是否可以保证这个人分流一年后的年
　　　　收入永远超过分流前的年收入。

解：(1)根据题意知 当n=1时,a_n=a；
　　当n≥2时，

　　

(2)由已知b=a，当n≥2时,
　　
　要使上式等号成立，当且仅当
　即　解得n=3
　　因些这个人第３年收入最小，最小收入为ａ

(3)当n≥2时
　　上述等号成立当且仅当b=a 且()^n-1=()^n-1
即n=
　　虽然 >，但不是自然数，因些等号不可能取到。
　　即当n >2时，有a_n>a
　　但当n=2时，a₂=a+a=a >a
　　综上知，当b≥a时，一定可以保证这个人分流一年后的年收入永远超过分流的年收入。