例3．选择题：
（1） 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法有（ ）
（A）152 （B）147
（C）144 （D）141
（2）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同分配方法共有（ ）
（A）90种 （B）180种
（C）270种 （D）540种
（3）20个不加区别的小球放入编号为1号，2号，3号三个盒子中，要求每个盒子内的球数不小于盒子的编号数，则不同的放法总数是（ ）
（A）760 （B）764
（C）120 （D）91
（4）某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为（ ）
（A）720 （B）480
（C）224 （D）20
（5）从A、B、C、D、E五名学生中选出四名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（
）
（A）24 （B）48
（C）120 （D）72
解：（1）本题实际上进行两次分类，第一次分类是将四点组取法数 分为共面与不共面两类，确定共面四点组数，用间接法可得不共面四点组数。第二次分类是为了确定四点共面的取法数，再次进行分类，这是本题关键也是难点所在，可分三类：第一类，在每个面内取，共有
种取法；第二类，每条棱和其对棱的中点，共有6个面；第三类，6个棱的中点中，与一组对棱平行的面，共有3个，于是可得
－（＋６＋３）=
210－69 = 141（种）
故选（D）
（2）本题可分两步进行：第一步将3名医生分到三个学校有p3种分配方法；第二步将6名护士分到3个学校，可首先进行均匀分组得
，然后分到三个学校，即得  因此得
（种），故选（D）
（3）先取出3个球，然后将17个球排成一列，17个球中间有16个空档，从中任取两个空档作记号"1"（如图所示），00100000100…0将17个球分成三块；第一块给1号盒，第二块给2号盒，第三块给3号盒；然后将取出的1个球给2个盒，再将取出2个球给3号盒，确保每盒内球的个数不少于盒的编号数，从而使本题要求不同的放法总数转化为从16个空档中任取2个的组合数，即 ，
故选（C）。
（4）把有3枪在一起命中的情况看成一个整体，则它与另一命中的一枪不能再相邻，故可用"插空法"。 首先，对没有命中的4枪进行排序，因其地位平等，只有一种排法，然后插入命中的情况，有p5=20种，故选（D）
这里，我们关心的是命中的情况， 如果忽略了未命中的4枪地位平等，那么就会由 而误选B。
（5）解法一（直接法），有限制条件的排列，组合问题，用特殊元素分析法，以特殊元素A把问题分为两大类，第一类：不选A的，此时参赛方案有
种；第二类：选A的，此时先选元素（人），有
种方法，再排元素有
种方法，故此种情况下参赛方法有·
种；由以上可知总的参赛方案由加法原理共有：
+
·=24+48=72（种）
故选（D）。
解法二（问接法） 带有否定限制条件的问题常用间接法。
五人中任选四人总的参赛方案在
（种）而不符合条件的：A参加物理或化学的参赛方案有
 （种）；所以满足条件的参赛方案有
120 - 48 =72（种），故选（D）。
例4 填空题：
（1）已知集合A=｛a，b，c，d｝，B=｛-1，0，1｝，则从集合A到集合B的不同映射有_____ 个。
（2） 拟发行体育奖券，号码从 （3） 000001到999999，购买时揭号对奖，若规定：从个位数起，第一、三、五位是不同的奇数，第二、四、六位均为偶数时为中奖号码，则中奖面约为
_____（精确到0.01%）。
（3）一杂技团有8名会表演魔术或口技的演员，其中有6人会表演口技，有5人会表演魔术，今从这8名演员中选出2人，一人表演口技，一人表演魔术，则选法种数为_____
种。 |
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（4）在一块并排10垄的田地中选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生产，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有_____
种（用数字回答）
解：（1）映射个数问题，由映射的定义，可以把问题分为四步：
第一步：给集合A中的元素a在集合B中找对应元素有 种方法。
第二、三、四步：同理b、c、d在B中找对应元素都有 种方法。
∴由乘法原理,从A到B的不同映射共有
···
=81(个)
一般地，设集合A有m个元素，集合B有n个元素，则从A到B的不同映射共有nm个
（2）元素能重复的问题常用乘法原理。 该问题等价于求作满足同样条件的"六位数"的个数，分为两大步：
第一步：排第一、三、五位数字（从低位数起）由题知是不重复的奇数，则从1，3，5，7，9这五个奇数中任选3个排列有
种方法。
第二步：又可分作3小步，先排第二位，从0，2，4，6，8这五个数代取一个有  种方法；再排第四位，同理有
种方法；最后排第六位，由于是奖券问题，所以0可以作高位数字，所以同样也有
种方法。
由乘法原理有 ·
·
·
=7500（种）
所以满足条件的奖券有7500个，于是中奖面为 
需要注意的是，在处理较复杂的排列、组合问题时，我们常常是把问题化归（等价模拟）为一个具体的易于理解和处理的问题，从而使问题易于解决，这是一种常用的重要思想方法。
（3）解法一：加法原理法（图）
由题易知3人只会口技，2 人只会魔术，3人二者均会
把问题分作四类：（先分类，后分步）
第一类：从仅会口技和仅会魔术的人中各选1人有 种选法：
第二类：从只会口技与二者都会的人中各选1人有
种选法。
第三类：从只会魔术与二者都会的人中各选1人有 种选法；
第四类：从二者都会的3人中选2人有
种选法。
∴由加法原理知满足条件的选法共有
解法二：主、次元素分析法。
我们不妨把要选的会口技的这1人当作主元素，把会魔术的这1人当作次元素，由主次化原则可把问题分作两大类：
第一大类：要选的会表演口技的这1人来源于只会口技的3人之一有 种方法，此时，次元素（即所要选的表演魔术的这1人）又有两种来源：一种是来自二者都会的有种选法，另一种是来自只会魔术的2人之一有
种选法。
∴第一大类中有
种选法。
第二大类：主元素这1人来源于二者都会3人之一有种选法，而此时相应的次元素这1人仍有两种来源：一种来源于二者都会的剩下的2人之一有
种选法；另一种来源于只会魔术的2人之一有
种选法。
∴第二大类中共有 （种）
于是满足条件的选法总数有15+12=27（种）。
用主、次代原则进行分类、分步，可以使问题清晰、不重不漏。
（4）解法一：如A选第1垄，则B可选第8，9，10垄共3种；如A选第2垄，则B可选第9，10垄，共有210种；若A选第3垄，则B可选第10垄1种，考虑A，B可交换，故共有（3+2+1）×2=12（种）。
解法二：先取出6垄，然后将剩下4垄任取2垄种A，B两种作物有
，然后将6垄插入A，B间（确保A，B间隔不小于6垄）即可，故得
=12（种）
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