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例5 二项式定理选择题
（1）已知ab≠0且 ，则
展开式中的常数项是（ ）
（A）12 （B）60 （C）30 （D）160
（2）若n∈N，（ ＋１）n(an，bn∈z)，则bn的值
是（ ）
（A） 一定是奇数 （B）一定是偶数
（C）与n的奇偶性相反 （D）与n有相同的奇偶性
（3）设a=2+i，则
 的
值是（ ）
（A）-28 （B）28 （C）(3-i)16 （D）(3+i)16
（4）若n为奇数，则
 被9除所得的余数是（
）
（A）0 （B）2 （C）7 （D）8
（5） 展开式中，x4的系数为（
）
（A）-40 （B）10 （C）40 （D）45
解：（1）设第（r+1）项为常数项，即
Tr+1 =  (xa)6-r·(2xb)r=·2r·x6a-ar+br
令6a - ar +br=0
又由题设 （x＞0)
∴x2a+b=1 ∴2a+b=0 ∴6a - ar - 2ar = 0
∴6a=3ar 而 ab≠0 ∴a≠0 ∴r=2
∴ 常数项为=60，
故选（B）
（2）解法一：
由（＋1)n
=an
+ bn，知
an
+ bn=（1＋)n
∴
∴显然为奇数，故选（A）
（3）首先需对
进行娈形，考虑二项展开式
逆用公式会有
=[1+(-a)]16=(1-a)16
又a=2+i
故所求值为
(-1-i)16=[(1+i)2]8=(2i)8=28
故选（B）
（4）原式=(7+1)n-1
=(9-1)n-1
∵n为奇数，除以9余数为9 - 2=7，故选（C）
（5）本题的结果是两个展开式相乘，X4项来自两个二项展开式：
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例6 二项式定理填空题
（1）若(1+2x)100=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…a100(x-1)100，
则a1＋a3＋a5＋…+a99=______
（2）11100-1 数的末尾连续的零的个数是______ 个。
（3）
解：（1）在恒等式中
令x=2及(1＋4)100 =a0＋a1＋a2＋…+a100
又令x=０及 １= a0－a1＋a2－a3…+a100
两式相减及5100-1=2(a1＋a3＋…+a99)
∴ a1＋a3＋a5＋…+a99=
（2）∵令11100-1=(10+1)100-1
∵M的末位数是0，N的末位数是6。
∴11100-1=103(M+N)的末尾连续零的个数是3个。
（3）令a=1，b=i，n=100
则
又(1+i)100=(2i)50=-250
依复数相等的定义：
例7 设f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m、n∈N)。其展开式中x的系数为17，求展开式中x2项系数的最小值。
解：由已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n
∴f(x)展开式中x的系数为
 ，即 2n+m=17
∴ m = 17 -2n ∵m n∈N
∴ 17 - 2n≥1 ∴2n≤16 ∴1≤n≤8， n∈N
f(x)展开式中x2项的系数为
把m = 17 - 2n代入得：
T=(n-8)(2n-17)+2n(n-1)
=4n2-35n+136
∴n∈[1，8]，且n∈N，而 n = 
当n=4时，T最小值=4.42-35.4+136=60
∴x2项的系数的最小值为60。
例8 求证：
（n∈N）
证明：
其中 
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