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能力的代价
泰勒斯的著作全都失传了,关于他的传说,我们是根据和泰勒斯相隔许多年的人们的叙述获知的。不能保证这些人所叙述的情况没有猜测甚至公然的歪曲。显然，应当承认，我们对这些情况可能会轻易地信以为真。
人们把泰勒斯称为米利茨基，因为他出生在米利都城。这个城市是位于小亚细亚的古希腊爱奥尼亚省的省会。他是哲学学校的创始人，由于同样的原因，人们把这所学校称为爱奥尼亚学校。泰勒斯生活在公元前七世纪到公元前六世纪之间。历史学家习惯上称他为希腊七贤之一。其他六贤是：普利安的拜阿斯，米提利那的比达卡斯，林都斯的克利奥布拉斯，科林斯的派利安得，斯巴达的开伦，雅典的梭伦。泰勒斯出身于一个商人家庭。按照他的同龄人的传统习惯，他在年轻时代做过多次旅行。他也曾游历过埃及，据说，他在那里没有登上金字塔就算出了胡夫金字塔的高度，使当地的祭司们大为震惊，人们还谈到，他还能用类似的方法计算出远离海岸的大船的距离。据推测，这是利用了相似三角形的性质作为根据的。
泰勒斯以后的希腊学者认为，泰勒斯是数学证明思想的创始人。这个结论是用什么方法，如何得出来的，对此只能靠推测了。显然，泰勒斯在思索事物的本质时，把注意力集中到了事物之间的普遍联系和这种联系在人们的头脑中的反映上。譬如，我们如果用直接测量的方法测出一条线段大于另一条线段，而另一条线段又大于第三条线段，那就不必再去比较第一条线段和第三条线段，因为我们的大脑不用这种比较就一定能启示我们第一条线段大于第三条线段。
因此，可以直接从实践中只获取真理的一部分，而真理的其他部分可以不再直接求助于这种实践，而用逻辑推理的方法获得。归根到底，这也是求助于实践，因为在大脑中得到反映的事物之间的那些联系，更确切地说，这种反映事物本身是无数代人实践活动的结果。
那些直接从实践中获得的，并以形式论断为基础的真理后来被称为公理，借助于从公理中推断出的真理后来被称为定理。最初，由公理获得定理所借助的还不是形式逻辑，而仅仅是使得泰勒斯得出他天才得猜想的形式逻辑的萌芽。
我们不知道到底哪些公理首先是由泰勒斯提出来的，我们只知道有些基本定理可能是泰勒斯证明出来的，即：
1。直径把圆分为全等的两部分。
2。圆的任意一条非直径弦小于直径。
3。对顶角彼此相等。
4。两个三角形的一条边和这条边相邻的两个角对应相等，则这两个三角形全等。
证明思想的发现赋予数学的对象以抽象性质有密不可分的联系。甚至可以说，后者先于前者。正像我们已经说过的那样，如果测定第一条线段大于第二条线段，第二条线段又大于第三条线段，就没有必要在实践中来检验第一条线段大于第三条线段了。在比较第一条线段和第三条线段的推论中，线段本身及其长度已经是作为某些更一般的概念出现的。几何学的对象已经丧失了他的具体形式，变成符合形式逻辑条件的具有某种性质的抽象对象。几何学的推论具有普遍性，他变得对于非常广泛的一类对象来说也是正确的。可是，这种广泛性在一定意义上来说，带来了他另一方面的麻烦----这推论需要证明，因为对于具体的对象来说，这似乎是显然的，是容易检验的，如果我们转到更加普遍的对象上来，就不一定正确了。要证明定理，这种证明的必要性，就是为了数学推论的普遍性而付出的一种特殊的代价。
关于泰勒斯个人的情况，我们知道的很少。对于和他同时代的年纪较小的毕达格拉斯的情况则知道的要多的多。毕达格拉斯是数学学校的创始人。在这所学校里，数学已经以开始从泰勒斯那里接受过来的形式出现。毕达格拉斯学派从事其研究的那些数的性质，已经不是像埃及人那样是所谓的麦子的粒数或房子里猫的个数。毕达格拉斯学派的数乃是抽象的数学概念，是专门的科学研究的对象。同样，真正的几何图形也不再是法老的坟墓----金字塔，或者播种小麦的田地。这毕竟是一种纯粹的几何概念，研究它，不是为了一个具体的目的（例如，为了计算出这块地的收成），而是由于它本身所引起的兴趣。数学进入了（不得不进入）一个崭新的发展阶段。进化的规律，生活的规律正是这样：开始是通过人类的实践活动，然后则运用抽象的理论。将来，理论的推论将应用于实践，但这比起刚开始的实践来说，已经是更高级的实践了。我们所研究的情况正是如下论断的真实写照：客观真理的认识是由生动的直观到抽象的思维，再由抽象的思维到实践的过程。欲知后事如何，请听下回分解。
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