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曲线
我们想象又一个匀速旋转的留声机的圆盘,同时,一只苍蝇从圆盘的中心开始沿着圆盘的半径匀速地爬行.苍蝇会描画出一条什么样的曲线呢?我们把这样的曲线叫做阿基米德螺线.对于熟悉坐标法的人来说,不难写出螺线的方程式.为此,我们要利用象下面这样做出的极坐标系统.在平面上取任意一条有向的半直线
P (极轴).这时,如果 M 是平面上的任意一点,我们就取两个数和它对应,一个是叫做极半径向量的线段 OM=ρ>=0,另一个是由极轴到极半径向量作反时针运动所得的叫做极角的角
θ .数 ρ 和数 θ 叫做点 M 的坐标,于是,平面上各点与极坐标互相对应,这就是极坐标系(图1).点 O 叫做极坐标系的极点.
图1
我们把圆盘中心的苍蝇开始爬行的那个旋转半径的位置当作极轴,这样,圆盘的中心和极点完全重合,而苍蝇沿着半径(极半径向量ρ)爬行的距离将和这个半径所转过的角度(极角θ
)成正比.就是说 ρ=aθ (1) 其中 a 是比例系数.螺线的样子如图2所示.
图2
利用阿基米德螺线可能容易解决三等分角的问题.果然,正如等式(1)所示,把一个角分成三等分,就意味着把这个角相对应的极半径向量分成三等分.答案如图3所示.图中画出的角
AOB 需要分成三等分.我们把角的顶点 O 当作极点,把边 OA 当作极坐标系的极轴.对于任何所需要的比例系数 a ,我们都能做出具有方程式(1)的阿基米德螺线.设该螺线交已知角的边
OB 于 K 点.利用圆规和直尺把线段 OK 三等分.以 O 点为圆心,以 OK 的1/3为半径作圆弧交螺线于 M 点.作直线 OM .角
AOM 是角 AOB 的1/3.
显然,阿基米德螺线不仅能够把一个任意角分成三等分,而且可以分成任意等分.这时,画螺线的工具自然也包括圆规和直尺.
阿基米德螺线是否正是在解决三等分角的问题时发现的,尚不得而知.但是考虑到它和建立在线和角的量之间的直接的比例关系基础上的问题的联系,几乎可以有充分的把握说,关于螺线的想法的产生正是和三等分角的问题联系在一起的.
三等分角的问题还可以这样来解决.设 AOB 是一个任意角(图3).在角的 OB 边上取任意一点 P ,过 P 引平行于角的另一边 OA 的直线
PQ 和 垂直于 OA 的直线 PD .过顶点 O 引一条直线,使线段 LM ( L 是这条直线和 PD 的交点, M 是这条直线与 PQ
的交点)等于 2OP. 则角 AOM 是角 AOB 的 1/3.
图3
确实如此,设 N 是线段 LM 的中点, NT 是 PQ 的垂线,这时, OP=PN=NM.如果用α表示角
AOM ,那么,角 PMO= 角 MPN=α.等腰三角形 OPN 的角 ONP 是三角形 PNM 的外角, 因而等于 2α.论断得到了证明.要想利用圆规和直尺过
O 点引直线,使线段 LM 等于线段 OP 的二倍,这是不可能的.利用阿基米德提出的补充方法就可以做到这一点.就是在一条纸条上(阿基米德时代可能是一小条草纸片)画上
L,M 两点,使线段 LM 等于线段 OP 的二倍.然后移动小纸条,使它始终通过 O 点(角的顶点),而点 L 沿着直线 DP 移动.那么,当点
M 出现在直线 PQ 上的一瞬间,小纸条就会从已知角中分出三分之一份来.
画有两个点的小纸条可以用称为尼科麦德蚌线得曲线来代替,该曲线是以生活在公元前二世纪得希腊数学家尼科麦德的名字命名的.其做法如图4所示.
图4
取任意一点 O 为蚌线的极点,不通过极点的一条直线 d 为蚌线的底边,长为 h 的一条线段为蚌线的间距.过极点
O 引一切可能的直线,这些直线与底边 d 的交点为 P ,延续到 PM ,使 PM=h. 点 M 的集合就是蚌线.
再回到图3上来.如果取极点为 O ,底边为 PD ,间距等于线段的二倍的一条蚌线,那么,这条蚌线必交直线 PQ 于点 M .直线 OM 从角
AOB 中分出三分之一份.
图5
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