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圆锥曲线
我们在前面已经熟悉的希波克拉底不仅仅研究圆弧组成的月牙形,前面提到的立方体加倍问题的一种解题尝试也和他的名字联系在一起.正象大家已经知道的那样,这个问题是要求利用圆规和直尺做出一个体积二倍于已知立方体的立方体的一条棱.如果a是已知立方体的棱,x是所求的棱,那么,按照题意,我们可以得到
x^3=2a^3
希波克拉底不论是利用圆规和直尺,还是利用其他工具,都没有解出这道题.但是,他指出,这道题可能归结为求两个已知量之间的两个比例中项的问题,其中一个已知量等于已知立方体的棱,另一个是这条棱的两倍.确实,如果我们运用现在的表示方法,就会得到
a:x=x:y=y:2a
由此得到
x^2=ay,y^2=2ax
消去其中的y,就约简为前面那个式子.
在后面,我们将详细地介绍解析几何的创始人笛卡尔.上面立方体的棱是这两条抛物线交点的横坐标.
想必希波克拉底本人是没有抛物线的概念的.自然,他也没有任何曲线方程的概念,因为希腊人当时还不知道坐标法.首先注意到抛物线几何性质的人是生活在公元前四世纪的希腊数学家密勒克姆.他是当时最著名的学者之一欧多克斯.克尼德斯基的一个学生.密克勒姆不仅发现了抛物线,而且同时还发现了椭圆和双曲线.椭圆,抛物线,双曲线从那时起总是放在一起研究,密克勒姆圆锥曲线的名称也因此牢固地确定下来了.
人们认为,密克勒姆是在研究平面与直圆锥相截的截面时发现圆锥曲线的.这时,圆锥应当由两个圆锥体的腔组成.毫无疑问,密克勒姆正好是通过立方体加倍的问题解决了圆锥曲线的问题.在很久以前就有人研究了这个著名的立方体加倍问题,他常常归结为更容易得到解答的另一些问题.像希波克拉底就是用两个比例中项来解答的.
自然,古希腊人没有曲线方程的概念.但是,我们利用方程表示过的曲线的那些性质,希腊人已经提到过.这一点利用被称为巧妙的代数实现了.比如第一个抛物线方程,希腊人是这样描述的,如果从曲线上任意一点做曲线的轴的垂线,那么这条垂线构成的正方形的面积等于一个长方形的面积,这个长方形的一条边的长度等于a,而另一条边是由顶点到垂足的长度.正是密勒克姆发现的三条曲线中的一条曲线体现了这个性质.
我们没有看到过密勒克姆的著作,我们是从其他较晚的数学家的著作中看到的,这些数学家引用了他的发现.但是,这些引文有矛盾.某些著作说,希腊数学家只是研究了与直圆锥的母线相垂直的平面相截的情形,这时,当圆锥的轴角小于直角时,截线是椭圆,当圆锥的轴角等于直角时,截线是抛物线,当圆锥的轴角是钝角时,截线是双曲线.另一些数学家认为,密勒克姆是这样得到圆锥曲线的,就是在平面与圆锥任意相交时得到了三条曲线,这时,如果移动的平面不平行于任意一条圆锥的母线,那么得到的截线是椭圆;如果移动的平面平行于圆锥的一条母线,那么截线是抛物线;如果平面穿过两个腔,所得到的截线就是双曲线.还有的数学家认为,在同一个圆锥中同时研究这三条曲线是后来的事情,他与杰出的希腊数学家阿波罗尼亚(公元前二世纪)的思想有关.
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