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伟大的发明
我们把解析几何称作是一项伟大的发明.恩格斯把解析几何(笛卡尔变量)的发明称为数学领域的一个转折点.他写道,由于这一发明,辩证法和运动进入了数学领域,而这立即引起无穷小概念的发展.英国的大科学家牛顿和德国的大哲学家莱布尼茨通常被认为是无穷小运算的创始人.恩格斯强调指出,笛卡尔的发明应当看作是首创,而牛顿和莱布尼茨只是更加完善,而不是发明了这种运算.
正像我们所说过的那样,笛卡尔的基本思想在于要用代数来解决几何问题.代数和数,方程有关,几何和点,线,面有关.把两者结合起来,这就意味着要找到一种设法把几何方法和代数方法互相比拟的方法,以便在完成某种形式的,按照确定的法则进行的代数运算时,对这些运算的结果作几何上的解释.
数和图形的概念是数学的基本概念.每一个图形都可以用确定的参变量------长度,面积,体积来描述.可是,如果两个图形的参变量相同,只靠参变量并不能把两个图形确切地区别开来,需要借助于数字同时确定图形在空间中的位置.这就需要用坐标法来做.掌握坐标法,就意味着用这种表示法把代数形式的方法和直观的几何方法合为一体.这种方法的掌握是长期的,严格训练的结果.
每一个几何图形都是点的集合.为了利用数字确定图形在空间中的位置,必须先利用数字确定点的位置.确定点的位于线上,面上,或者三维空间,应以取适当个数字为依据:一个数,点在线上;两个数,点在面上;三个数,点在体内.这样点和数的集合相互之间建立起一一对应的关系.这种对应是坐标法的基础,被称为坐标系.那么与几何图形对应的代数形式是什么呢?那就是方程,因为方程是数的集合,通过坐标系把数与点的一一对应,最后得到了方程与几何图形的对应.
之所以称解析几何是一个伟大的发明,那是因为它今天已经成为任何一门科学的基础.不可想象我们离开了解析几何,世界会怎样.无论怎样赞扬解析几何的发明都不会过分.
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