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坐标世界
笛卡尔让代数为几何服务(而且不仅是几何,还有物理,化学,生物,地理,等等),对于那以后被认为是财富的许多思想,笛卡尔比别人更有预见性.大家知道,研究了人类思维的规律.特别是算术运算的规律,我们就得到这些规律的模型,并且去寻求依靠机器完成这些运算的可能性.对于机器来说,完全不同的是,只有一种信息拥有进入机器的控制范围这种形式逻辑的性质,人们才能把这种信息输入机器.机器按照人们"教"它的规则处理任何一种这类信息,并且产生出现成的结果,至于对这个结果如何解释,就全靠输入信息的人了.
在我们所研究的情况中,代数就起到了这种数学机器的作用.对于代数来说,任何对象无论具有什么样的具体意义,如几何的,物理的或者别的什么意义,完全都一样.既然他们拥有属于代数范围的性质,就能像所有其他具有这种性质的对象一样,用代数来处理.
总的说来,数学是认识客观现实的一种形式.数学的特殊性在于其真理的抽象性质(而且这种抽象的程度较之其他学科要高的多),以及对于外界现象的独特的,从空间和数量的角度进行的解释.
代数是数学的一个抽象性表现的最突出的一部分.几何的对象始终还是比较具体的,这就是现实世界的空间形式.用这种形式思维是人类思维不可缺少的一种特性,因此,从原则上说,数学没有几何是不行的.但是,作为一个研究具体对象的数学领域,几何不可避免地要受到完全摆脱了这种具体性的领域的影响.眼下所说的这个领域就是代数.
不应当认为,由于笛卡尔的发明,结果使得几何隶属于代数.并不存在隶属关系.结果只是两部分结合成为一个整体---解析几何,这种结合对于代数和几何同样都是有益的.通过由几何到代数的坐标法这种方法,我们开始似乎完全忘记我们是在同几何打交道.可是,随后,当代数帮助我们找到了某个结果时,一定得回到几何上来,以便知道所得到的用几何语言表达的结果究竟意味着什么.显然,没有这种还原,没有意识到这种还原的必要性,就不需要解析几何.
现在,不管什么样的知识领域,其中不以某种形式接触到解析几何的概念,那是难以想象的.
我们看患者的体温曲线,这里就有解析几何.其中时间沿着横坐标轴移动,体温沿着纵坐标轴移动.看到这条体温曲线,每一位医生马上就能对于患者的病情变化形成一个清楚的概念,至少在病症的某个方面是这样的.
领航员在地图上开辟船只的航线,这同样也有解析几何.把地球表面预先绘制到平面上,由此就得到了地图.地图上的每一个点的坐标都是地球表面上相应的点的地理坐标(纬度和经度)的函数,可以把函数看成和这些坐标是一样的.每一条航线都是一条曲线.曲线将根据领航员的目的成为某种形式的曲线.如果目的是指挥一条船沿着地球表面上的一条最短航线航行,就会得到一条曲线.如果让船按照同一个角度(这使舵手的任务简化,掌舵时,可以把方向始终定在指南针的同一刻度上)横穿所有的经线,就会得到一条所谓的斜航曲线.这一斜航曲线在不同的地图上看法不同,领航员得知道如何在地图上所附的坐标中识别斜航曲线的方程式.知道了方程式,他就能够计算出曲线所要通过的点的坐标,从而画出船只将要通过的那些位置.知道了方程式,他就能够计算出(精确地或者近似地)曲线的弧长,也就知道了船只按照上述航线航行时,抵达地球表面指定的地点所需要的时间,等等.
宇宙飞船是如何飞行的呢?他沿着什么样的轨道飞行呢?怎样计算出这些轨道呢?
飞船是沿着万有引力定律所确定的轨道飞行的.如果所说的是单独的一个飞船和他所围绕飞行的一颗行星,那么,轨道就是二次曲线的一种.这样的轨道在和地球,太阳或各个"恒"星有联系的随便一种坐标系中,都有一个确定的方程式.解析几何提供了找到这个方程式的工具从而能够指出每一瞬间飞船的位置的可能性.
但是,应当指出,每一颗行星,每一个宇宙飞船,都不是一个点,因此,飞船的运行轨道远不是按照万有引力定律得到的理想的二次曲线.同时,宇宙飞船运动的范围不只是绕一颗行星.其轨道比基本的二次曲线要复杂的多.利用我们前面已经熟悉的解析几何来计算这样的轨道似乎是不可能的.现代数学的研究有更为有效的方法来帮助解决这个问题,但是其中的许多方法的基础仍然是解析几何和坐标法.
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