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加罗华
整系数的代数方程不是研究古代三大名题利用圆规和直尺能否解决的问题所归结成的必须的结果。在一般情况下，既然（在作图的过程中）点，直线和圆是任意选取的，方程的系数就可能也是任意的，更确切地说，不一定是整数。这样的方程是由某个原来是二次方程通过多次平方的方法得到的。反之，如果使这个代数方程经过一系列的开方，最终就能归结出这样一个二次方程，其根是通过原代数方程的系数利用一系列的开方来表示的。这时，通常说代数方程是利用平方根来解决。利用圆规和直尺能否解答的问题就归结为这个问题所对应的代数方程利用平方根能否解答的问题。代数方程利用平方根能否解答的检验标准如何呢？这个问题的答案，而且不是作为主要的，而只是作为一个次要问题的答案，是由伽罗华理论提供的。 这位伽罗华是谁呢？有几十本极其优秀的著作谈到过他。其中尤为突出的一本书是杰出的波兰物理学家列奥波尔。英费尔德所写的《天之骄子，伽罗华》。讲伽罗华，很难比英费尔德的这本书讲的更好了。
伽罗华刚二十岁多一点就死于决斗（１８１１－１８３２）。伽罗华生前被认为是一个激烈的共和制的拥护者。他的热情，他信仰的力量和对反动派的不调和性是无可比拟的。有许多理由认为，决斗是伽罗华政治上的反对派为了把他从自己的道路上清除掉，而想方设法挑起的。
在临死前的几个小时寄给朋友的一封信中，伽罗华用几页纸阐明了后来所说的伽罗华理论。这个理论一百年来一直引起数学家们对它的注意。伽罗华利用被伤害了的生命的每一分钟，匆忙地，难以详述地写着他倾注着自己天才的全部力量的临终前最卓越的著作。
伽罗华是一位天才的数学家，这种看法现在不会引起任何人的怀疑。可是，当年伽罗华的反对者企图诽谤他和他为之英勇奋斗的事业，而现在许多人又不知深浅，都极力设法把这位数学家的功绩吹的天花乱坠，把他所没有的功绩也都妄加在他的身上，使他变成这样一个活天使。
众所周知，伽罗华在巴黎综合技术大学的入学考试中曾经两次落第。伽罗华为什么落第呢？是不是因为尽管他对解代数方程的理论有绝妙的理解，而对数学的其他部分却掌握的很不扎实呢？这不可能。一个不可动摇的事实是，伽罗华不可能对什么都不甚了了，数学对于他来说是一部熟记在心的书。他怎么能落第呢？一次是主考人愚蠢地向这位天才的数学家提出了过于简单的问题，伽罗华认为回答这样的问题有损他的尊严。另外一次，主考人更愚蠢，他不论怎样也不明白考生设法向他说明的十分平常的事理。伽罗华接着做什么呢？真是别无他法，他气得随手把刚刚擦完黑板的一块脏海绵向不可理喻的主考人的脑袋扔去。嗬，真带劲！好一个伽罗华！对于那些科学上的庸人和墨守成规者就应当这样！
伽罗华的传记作者们喜欢讲述好像是他在预科学校时所发生的一段故事。学校的老师列鲁阿来到教室，给学生讲他刚熟悉的施图姆根据解代数方程的定理得出的一个非常有趣的结果，但他说不出证明，因为文章还没有发表。大家都聚精会神地听着，只有伽罗华的脸上浮现出讥讽的微笑。
“伽罗华，”老师转向他，“这个结果你好像觉得很简单吧？大概你还知道它的证明吧？”
伽罗华一句话也没说，站起来走到黑板跟前拿起一根粉笔，想了一会儿，公式就开始以发狂般的神速从他手下出现在黑板上。一个，又一个，第三个，伽罗华不停地写着。黑板写满了，粉笔才扔掉。数学家举止文雅地从自己的衣服上抖掉粉笔末。定理证明出来了。
伽罗华当时１８岁。我们已经提到过，大概就在这时，关于解代数方程，他已经知道了许多东西。他能够想到施图姆定理所阐述的内容（方程在已知区间所含有的根的个数）。但是，一走到黑板立刻就给出数学家们认为是非常重要的一个定理的证明，对于一个没有坚实的数学修养的青年来说，这是令人难以置信的。不仅陈述出自己关于事物有道理的聪明的推测，阐明自己关于事物的思想———且不论怎样，而且还站在教室的黑板前，这样迅速地，这样潇洒地证明定理———这未免太过分了。
我们往往不加思索地把伽罗华浪漫的生活和他科学的创造混为一谈。并常常无意中企图把凭自己的想象描绘出来的，并非真实的伽罗华介绍给青年读者们。浪漫倒是浪漫，但不要忘了，科学创造，这是劳动，这种劳动是艰苦的。天才，就是勤奋。《百科全书》的首创者之一布封（１７０７－１７８８）就曾经这样说过。伟大的发明家爱迪生不厌其烦地重申，在无论哪一项发明中，只有百分之一的灵感，而有百分之九十九的血汗。而且这是有条件的，最主要的就是有数学的能力和才干。在数学领域中，也象在其他任何一门科学中一样，有许多幻想，但在任何时候都不要忘记，研究数学，这不是天天过节。不是的，这往往是一些最枯燥无味的工作日，需要早起晚睡，大量地计算，不停地思索，思索，再思索。这不是任何人都感兴趣的，也不是任何人都能胜任的。在城市的住宅里，舒舒服服地从电视里看考察原始森林的富于浪漫情调的描写是一回事，而自己背上沉重的背囊，头上飞着大群的蚊虫，步履艰难地穿行于原始森林里则完全是另一回事。
浪漫主义的文艺作品是绝妙的作品。它把人们引入仙境，使人摆脱生活琐事的烦恼，有时也用冷静和鉴赏的观点对周围事物进行分析，把其中的小麦和毒草分开。
正如我们前面已经提到过的，确定使代数方程用平方根可以解开的充分必要条件不是伽罗华理论的唯一目的。如果可以这样说的话，这只是伽罗华理论所解决的附带的问题中的一个。其主要问题是：用根式解代数方程的可解性的条件大体上是怎样的？
对于不熟悉这个目的的人来说，可能以为这个问题很奇怪———难道不是任何一个代数方程都可以用根式解出来的吗？要知道，二次方程（１５）正是用根式解的，它的根是根据公式（１６）找到的。可对于任意的方程（２２）来说，能否找到类似的公式呢？
事实证明是找不到的。方程的根是有的，这些根表示为系数的某种函数，但是，就像解二次方程所做的那样，通过根式表示这些函数，对于每个方程来说可能远非如此。对于二次、三次、四次方程来说，类似的表达式一定能够找到，至于五次和更高的方程，这在一般情况下则是不可能的。但是，在这一点得到发现和证明之前，经过了很长时间，在这期间，人们企图找到任何一个方程的解，改进了代数的符号体系，引入了新的数学概念。解更高次方程尝试的历史是重要的，值得注意的，毫不逊色于尝试解答古代名题的历史。这段历史最重要的篇章应该说是在十六世纪。下面，我们就来展示这一篇章。
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