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对于任何一门科学的正确概念，都不能从有关这门科学的片断知识中形成，尽管这些片断知识足够广泛。还需要对这门科学的整体有正确的观点，需要了解这门科学的本质。本章的目的就是给出关于数学的本质的一般概念。为了这个目的，没有很大必要去详细考察新的数学理论，因为这门科学的历史和初等数学就已经提供了足够的根据来作出一般的结论。

1.甚至对数学只有很肤浅的知识就能容易地察觉到数学的这些特征，第一是它的抽象性，第二是精确性，或者更好地说是逻辑的严格性以及它的结论的确定性，最后是它的应用的极端广泛。 抽象性在简单的计算中就已经表现出来，我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来，我们在学校中学的是抽象的乘法表一总是数字的乘法表，而不是男孩的数再乘上苹果的数目，或者苹果的数目乘上苹果的价钱等等。

同样的在几何中研究的，例如，是直线，而不是拉紧了的绳子，并且在几何线的概念中舍弃了所有性质，只留下在一定方向上的伸长。总之，关于几何图形的概念是舍弃了现实对象的所有性质只留下其空间形式和大小的结果。全部数学都具有这种抽象的特征。关于整数的概念和关于几和图形的概念） --这只是一些最原始的数学概念，之后才是其他许多达到象复数、函数、积分、微分、泛函、 n维甚至无限维空间等等这样抽象程度的概念。这些概念的抽象化好象是一个高于一个，一直高到这样的抽象程度，以致看上去已经失去了同生活的一切联系。以致“凡夫俗子”除了感到“莫名其妙”以外什么也不能理解。

事实上情形当然不是这样。虽说几维空间的概念的确非常抽象，但它却有完全现实的内容，要了解这内容并不那么困难。在这本书里将要特别强调和解释上面列举的那些抽象概念的现实意义，并且使读者相信这些概念全都是既从它们自身的起源方面也从实际应用方面同生活联系着的。 不过，抽象并不是数学独有的属性，它是任何一门科学乃至全部人类思维都具有的特性。因此，单是数学概念的抽象性还不能说尽数学的特点。

数学在它的抽象方面的特点还在于：第一，在数学的抽象中首先保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切。第二，数学的抽象是经过一系列阶段而产生的；它们达到的抽象程度大大超过了自然科学中一般的抽象。我们将以数学的基本概念：数与形为例来详细解释这两点：最后一这也是惹人注意的棗数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之中。如果自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验，那末数学家证明
定理只需用推理和计算。

当然，数学家们为了发现自己的定理和方法也常常利用模型，物理的类比，注意许多单个的十分具体的实例等等。所有这些都是理论的现实来源，有助于发现理论的定理，但是每个定理最终地在数学中成立只有当它已从逻辑的推论上严格地被证明了的时候。如果一个几何学家报告一条他所发现的新定理时，只限于在模型上把它表示出来，那么任何一个数学家都不会承认这条定理是被证明了。对于证明一个定理的要求从中学的几何课程中就可以很好地了解到了，这种要求贯穿在全部数学中。我们可以极精确地测量成千个等腰三角形的底角，但这并不能给我们以关于等腰三角形两底角相等的定理的数学证明。数学要求从几何的基本概念推导出这个结果（现在在几何的严格叙述中基本概念的性质是精确地表述在公理中），并且总是这样的：证明一个定理对于数学家来说就是要从这个定理中引用的那些概念所固有的原始性质出发，用推理的方法导出这个定理。这样看来，不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是抽象的、思辨的。

数学结论本身的特点具有根大的逻辑严格性。数学推理的进行具有这样的精密性，这种推理对于每个只要懂得它的人来说，都是无可争辩和确定无疑的。数学证明的这种精密性和确定性人们从中等学校的课程中就已很好地懂得了。数学真理本身也是完全不容争辩的。难怪人们常说：“像二乘二等于四那样的证明”。这里，数学关系式 2×2=4 正是取作不可反驳、无可争辩的范例。

但是数学的严格性不是绝对的，它在发展着；数学的原则不是一劳永逸地僵立不动了，而是变化着的并且也可能成为甚至已经成为科学争论的对象。

归根到底，数学的生命力的源泉在于它的概念和结论尽管极为抽象，但却如我们所坚信的那样，它们是从现实中来的，并且在其他科学中，在技术中，在全部生活实践中都有广泛的应用；这一点，对于了解数学是最主要
的。

数学应用得非常广泛也是它的特点之一。

第一，我们经常地、几乎每时每刻地在生产中、在日常生活中、在社会生活中运用着最普通的数学概念和结论，甚至并不意识到这一点。例如，我们计算日子或开支时就应用了算术，而计算住宅的面积时就运用了几何学的结论，当然，这些结论都是十分简单的，不过，记起这一点是有益的：在古代某个时候，这些结论曾经是当时正在萌芽中的数学的一些很高的成就。

第二，如果没有数学，全部现代技术都是不可能的。离开或多或少复杂的计算，也许任何一点技术的改进都不
能有；在新的技术部门的发展上数学起着十分重要的作用。

最后，几乎所有科学部门都多多少少很实质地利用着数学。“精确科学”—力学、天文学、物理学、以及在很大的程度上的化学一通常都是以一些公式来表述自己的定律（这是每个从中学毕业人都早已懂得的），都在发展自己的理论时广泛地运用了数学工具。没有数学，这些科学的进步简直是不可能的。因此，力学、天文学和物理学对数学的需要恰好也总是在数学的发展上起了直接的、决定性的作用。

在其他科学中数学起着较小的作用。但是就在这些领域中，它也有重要的应用。当然，在研究像生物现象和社
会现象那样复杂的现象时，数学方法本质上不能起像在物理学中所能起的那样的作用，数学的应用总是只有与具体现象的深刻理论相结合才有意义，在这些现象的研究中尤其如此，记住这一点是很重要的，这样才不致迷惑于毫无实在内容的公式游戏。但是无论如何，数学几乎在所有科学中，从力学到政治经济学，都有着这样那样的应用。

我们来回忆几个在精确科学和技术中特别出色的数学应用的例子。

太阳系最远的行星之一的海王星是在年在数学计算的基础上被发现的。天文学家阿达姆斯和勒未累分析了天王
星的运动的不规律性，得出结论说：这种不规律性是由其他行星的引力而发生的。勒未累根据力学法则和引力法则计算出这颗行星应该位于何处，他把这结果告诉了观察员，而观察员果然从望远镜中在勒未累所指出的位置上看到了这颗星。这个发现不仅是力学和天文学特别是哥白尼体系的胜利，而且也是数学计算的胜利。

另一个同样令人信服的例子是电磁波的发现。英国物理学家麦克斯威尔概括了由实验建立起来的电磁现象规律，把这些规律表述为方程的形式。他用纯粹数学的方法从这些方程推导出可能存在着电磁波并且这种电磁波应
该以光速传播着。根据这一点，他提出了光的电磁理论，这理论以后被全面地发展和论证了。但是，除此以外，麦克斯威尔的结论还推动了人们去寻找纯电起源的电磁波，例如，由振动放电所发射的电磁波。这样的电磁波果然被赫兹所发现。而不久之后，波波夫就找到了电磁振荡的激发、发送和接收的办法，并把这些办法带到许多应用部门，从而为全部无线电技术奠下基础。在己成为公共财富的无线电的发现中，纯粹数学推论的结果也起了巨大的作用。

科学就是这样从观察，比如观察到由电流而引起磁针偏转，进入概括，进入现象的理论，进入规律的提出以及它们的数学表达式。新的结论从这些规律中产生，而最后，理论又体现在实践中，实践也给予理论以向前发展的新的强有力的动力。

特别值得注意的是，没有从自然科学或技术方面来的直接推动，而仅从数学本身内部产生的最抽象的数学体系，甚至也有极有价值的应用。例如，虚数在代数中出现了，在很长一段时间中它们的实在意义却没有被理解，这一情况可以从它们的名称中看出。但是以后，就在本世纪初对它们给予了几何的解释，从而虚数在数学中完全站住了，并且建立了复变数（就是 x+y√-1形式的变数）函数的广泛理论。这种所谓“虚”变数的“虚”函
数的理论完全不是虚假的，而是解决许多技术问题的很现实的工具。比如，茹可夫斯基关于机翼上升力的基本定理正好就是以这个理论作为工具来证明的。又如，就是这个理论在解决堤坝渗水问题时也显示了它的用处，至于这个问题的意义在巨大的水电站建设时代是很显然的。

非欧几里得几何是另一个同样光辉的例子。它是从欧几里得时代起的几千年来人们想要证明平行公理的企图中，也就是说，从一个只有纯粹数学趣味的问题中产生的。罗巴切夫斯基创立了这门新的几何学，他自己谨慎地称之为“想象的”，因为还不能指出它的现实意义，虽然他相信是会找到这种现实意义的。他的几何学的许多结论对大多数人来说非但不是“想象的”，而且简直是不可想象和荒涎的。可是无论如何罗巴切夫斯基的思想为几何学的新发展以及各种不同的非欧几里得空间的理论的建立打下了基础；后来这些思想成为广义相对论的基础之一，并且四维空间非欧几里得几何的一种形式成了广义相对论的数学工具。于是，至少看来是不可理解的抽象数学体系成了一个最重要的物理理论发展的有力工具。同样地，在原子现象的近代理论中，在所谓量子力学中，实际上都运用着许多高度抽象的数学概念和理论，比如，无限维空间的概念等等。 不必陷于例子的列举；我们已经足够地强调了数学在日常生活实践中，在技术中，在科学中都有最广泛的应用，并且只从数学本身内部生长起来的理论在精确科学和许多技术问题中也有其应用。除了数学的抽象性、严格性和它的结论的确定性以外，数学的另一个特征便是如此。

2.注意了所有这些数学的特点，我们当然还没有阐明数学的本质，毋宁说只是指出了数学的外表特征。问题在于要解释这些特点。为此至少应该回答下列问题：

抽象的数学概念反映什么东西？换句话说，数学的现实对象是怎样的？

为什么抽象的数学结论如此令人确信无疑，而原始的概念又如此显然？换句话说，数学方法的基础是什么？

为什么数学尽管如此抽象，却有最广泛的应用，而不是空洞的抽象把戏？换句话说，数学的意义从何而来？

最后，什么样的力量推动数学发展，使它把抽象性和应用的广泛统一起来？换句话说，数学发展过程的内容是什么，

回答了这些问题，我们就可以得到关于数学的对象，关于它的方法的根据，关于它的意义和发展的一般概念，也就是说抓住了它的本质。

唯心主义者和形而上学者们不但在解决这些问题方面陷于混乱，而且简直是把数学翻转过来完全加以歪曲。例如，看到数学结论的高度抽象性和明确性，唯心主义者们就想象说，数学是从纯粹思维中产生的。

事实上数学没有给唯心主义和形而上学以任何根据；恰好相反，客观地考察一下全部数学的关系和发展，它正可以给辩证唯物主义提供又一个光辉明证，并且每一步都反驳了唯心主义和形而上学。我们只要试图从最一般的特点上来回答前面所提出的关于数学本质的问题，就会相信这一点的。我们也相信对于这些问题的答案已经包含在由马究思主义经典作家所建立的关于数学以及关于科学和认识一般的本质的原理中了。为了预先解释这些问题，考察一下算术和初等几何的基础就够了。我们就要开始讨论它们。进一步深入到数学中去，当然可以
加深和发展已经得到的结论，但无论如何不会改变这些结论。

摘自《数学--它的内容、方法和意义》第一卷
[苏]А.Д.亚历山大洛夫 等著 科学出版社 1986